حساب الجذر التربيعي خطوة بخطوة بعدة طرق وتعريفه وأمثلة عنه

يفيض عالم الرياضيات بالمفاهيم والمصطلحات والعمليات الحسابية، والتي جعلت تعاملاتنا اليومية أسهل. وتتراوح هذه العمليات الحسابية ما بين السهلة ومتوسطة الصعوبة والمعقدة، ولكن يمكن للجذر التربيعي بحد ذاته أن يمر بالمراحل الثلاث السابقة حسب العدد الموجود تحت الجذر. فتعال معي لنكتشف كيفية حساب الجذر التربيعي خطوة بخطوة بعدة طرق، بالإضافة إلى الاطلاع على تعريفه وأمثلة عنه.

ما هو الجذر التربيعي

عند فتح أي كتاب عن أساسيات الرياضيات ستجد تعريف الجذر التربيعي كالتالي: إن جذر العدد (x) هو عدد حقيقي موجب وليكن (y)، والذي إن ضربناه بنفسه سيكون الناتج العدد (x)؛ وبعبارة أخرى: x=y.y. ويعني أيضًا أن الجذر التربيعي هو العملية المعاكسة للمربع الكامل؛ حيث أن المربع الكامل ناتج عن ضرب عدد بنفسه، أما الجذر التربيعي فهو العدد الذي ينتج عن قسمة المربع الكامل لهذا العدد على نفس العدد الأول.

ويرمز للجذر التربيعي بالرمز (√)؛ حيث يوضع العدد المطلوب حساب جذره التربيعي تحت الإشارة كالتالي: (9√)؛ ويمكن تمثيله حسب الرموز السابقة كالتالي: √x=y. ويمكن استنتاج الجذور التربيعية بسهولة، ثم حفظها عن ظهر قلب؛ مثل الجذر التربيعي للأعداد (1 و4 و9…)، ولكن يحتاج حساب الجذر التربيعي للأعداد الكبيرة أو العشرية أو ذات المربعات غير الكاملة إلى آلة حاسبة أو طرق حسابية سنتعرف عليها في الفقرات اللاحقة.

حساب الجذر التربيعي لمربع كامل

يمكن حساب الجذر التربيعي بعكس طريقة حساب الأسس؛ أي لحساب الجذر التربيعي لمربع كامل نبحث عن عدد صحيح يُضرب بنفسه أو يرفع للأس 2 ليعطي المربع الكامل. وتكون عملية البحث أسهل بالنسبة للأعداد الصغيرة نسبيًا، فعلى سبيل المثال: يعلم جميعنا أن ناتج ضرب العدد 3 بنفسه هو 9، لذلك يمكن القول أن العدد 3 هو الجذر التربيعي للعدد 9. وتنطبق عملية الاستنتاج هذه على الأرقام الموجودة في القائمة التالية:

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
√121 = 11
√144 = 12
√169 = 13
√196 = 14
√225 = 15
√256 = 16

كيفية البحث عن الجذر التربيعي (خطوة بخطوة)

يمكنك حساب الجذر التربيعي من دون استخدام الآلة الحاسبة باتباع واحدة من الطرق التالية:

حساب الجذر التربيعي بالتخمين

تعتمد هذه الطريقة على حفظ المربعات الكاملة الصحيحة، واستنتاج الجذور منها؛ فعلى سبيل المثال: نعلم أن 16 =4 ×4، وبالتالي فإن الجذر التربيعي للعدد 16 هو 4. أما إذا كانت الأعداد مربعات غير كاملة فيصبح من الصعب معرفة الجذور التربيعية بهذه الطريقة؛ حيث يكون الناتج عددًا غير صحيح.

حساب الجذر التربيعي بالقسمة

يمكنك إيجاد الجذر التربيعي لأعداد صحيحة عبر تقسيم العدد المطلوب على عدة أرقام مختلفة، وتستمر بذلك حتى تحصل في النهاية على إجابة مطابقة للرقم الذي استخدمته كمقسوم عليه. وهي طريقة قليلة الاستخدام بسبب عدم دقتها.

حساب الجذر التربيعي بالقانون

يوجد في الرياضيات قانون رياضي مباشر يعطي قيمة تقريبية لقيمة الجذر التربيعي الحقيقية لأي عدد كان، ويستخدم عادةً لحساب الجذور التربيعية للمربعات غير الكاملة للأعداد. ويكتب القانون كالتالي: √x = √s + (x – s) / 2 √s

حيث تمثل X العدد المراد حساب جذره التربيعي، أما S فهو أقرب مربع كامل للعدد المطلوب حساب جذره التربيعي. ولتوضيح القانون أكثر لديك المثال التالي:

لحساب الجذر التربيعيّ للعدد 50 يجب عليك بدايةً تحديد أقرب مربع كامل للعدد 50، وهو العدد 49. ثم ما عليك إلا التعويض بقانون الجذر التربيعي كالتالي: √50 = √49 + (50 – 49) / 2 √49

مع مراعاة الأولوية لعمليتي الضرب والقسمة، فيكون ناتج المعادلة مساويًا 7.0714285، وهو قريب جدًا من الجذر التربيعيّ الحقيقيّ للعدد 50 والذي يساوي: 7.0710678.

حساب الجذر التربيعي بطريقة حساب المعدل

تستخدم هذه الطريقة بشكل خاص لحساب الجذر التربيعي للأعداد التي لا تمتلك مربعًا كاملًا، وإليك خطواتها:

اختر أقرب مربعين كاملين بحيث يقع العدد المراد إيجاد جذره التربيعي بينهما. وبذلك يكون الجذر التربيعي للعدد المفروض محصورًا بين الجذرين التربيعيين لهذين المربعين الكاملين.
قسم العدد المطلوب حساب جذره التربيعي على الجذر التربيعي للمربع الأول.
احسب المعدل لجذر المربع الأول وناتج القسمة السابقة.
قسم العدد المراد حساب جذره التربيعيّ على المعدل السابق.
احسب المعدل من جديد لناتج القسمة في الخطوتين السابقتين.
وعندها يكون معدل القيمتين أقرب قيمة للجذر التربيعيّ للعدد المطلوب.

فعلى سبيل المثال: إذا طلب منك حساب الجذر التربيعي للعدد 11، فعليك التفكير بمربعين كاملين يحصران العدد 11؛ كالعددين 16 و9، وبما أنك تعلم أن جذريهما التربيعيين هما 4 و3 على التوالي؛ فاعلم أيضًا أن الجذر التربيعي للعدد 11 محصور بين العددين 3 و4. ثم قسم العدد 11 على الجذر الأول أي 3، ليكون الناتج: 3.67، فيكون معدل العددين السابقين:

(3+3.67)/2 = 3.335

قسم بعدها العدد 11 على الناتج السابق (3.335)، فيكون الناتج: 3.298. ثم احسب المعدل للقيمتين 3.335 و3.298، والذي يساوي 3.3165؛ وهو قريب جدًا من الجذر التربيعيّ للعدد 11، والذي يساوي على الآلة الحاسبة 3.3166247904.

حساب الجذر التربيعي بالتحليل إلى عوامل أولية

تمكنك هذه الطريقة من حساب الجذر التربيعي بالاعتماد على تحليل العدد المطلوب حساب جذره إلى عوامله الأولية. ثم كتابة الأعداد الأولية تحت إشارة الجذر التربيعي على شكل جداء، ثم إيجاد جذور كل منها في حال كانت مربعات كاملة. فعلى سبيل المثال: تكتب العوامل الأولية للعدد 81 على شكل جداء : 3 × 3 × 3×3 ، ونعلم أن جداء 3 بـ3 هو 9، وبالتالي يمكن كتابة الجذر التربيعي لـ 81 على الشكل التالي: √ 81 = √ 3 * 3 * 3 * 3 = √ 9 * 9 = 9.

حساب الجذر التربيعي باستخدام الآلة الحاسبة

توجد إشارة الجذر التربيعي في جميع الآلات الحاسبة العلمية والعادية، مما يمكنك من حساب الجذر التربيعي للأعداد بسهولة وسرعة. ولكن تختلف طريقة الحساب من آلة حاسبة إلى أخرى بسبب اختلاف التصميم والنظام ومستوى الحداثة والشركة المصنعة؛ وعلى كل حال ما عليك إلا الضغط على الرمز “Sqrt” أو الرمز “√” الموجود أحدهما في لوحة مفاتيح الآلة الحاسبة، ثم كتابة الرقم المطلوب حساب جذره التربيعي. وقد تطلب منك بعض الآلات الحاسبة وضع الرقم بين قوسين. وتختتم هذه العملية البسيطة بالضغط على إشارة (=)، وعندها ستظهر النتيجة.

الجذر التربيعي للرقم السالب

يصح حساب الجذر التربيعي للأعداد الموجبة فقط، ولا يوجد جذور للأعداد الحقيقية السالبة؛ ويعزى ذلك إلى عدم وجود عددين متطابقين ينتج عن ضربهما عدد سالب. فعلى سبيل المثال: إن الجذر التربيعي للعدد 81 هو 9، حيث يمكن ضرب +9 بـ +9 لينتج 81، كما يمكن ضرب -9 بـ -9 لينتج 81، ولكن ناتج ضرب +9 بـ -9 ليس 81 وإنما -81، وهما عددان مختلفان تمامًا. أي أن المربع الكامل ينتج عن ضرب العدد بعدد مماثل له من حيث القيمة والإشارة.

ولكن اصطلح علماء الرياضيات على إدخال ما يسمى بالأعداد الوهمية أو الأعداد المركبة، لحل المعادلات التربيعية ذات المتغير السالب، والتي يرمز لها بـ i.

الجذر التربيعي للكسور

إن عملية القسمة وتوزيع إشارة الجذر على حدي الكسر هما عاملان أساسيان في حساب الجذر التربيعي لكسر ما؛ حيث يمكنك كتابة إشارة الجذر التربيعي لكل من البسط والمقام، وحساب كل منهما على حدة، ثم تقسيم البسط على المقام لينتج في النهاية عدد صحيح أو عشري. وإليك المثال التالي لتوضيح فكرة حساب الجذر التربيعي لكسر ما: إذا طلب منك حساب الجذر التربيعي للكسر 16 / 9، فتكتب التالي:

√16/√9 = 4/3 = 1.3333

حاسبة الجذر التربيعي

تقدم لك العديد من المواقع والبرامج إمكانية حساب الجذر التربيعي لعدد ما من دون الدخول في دوامات الرياضيات، بالإضافة إلى السرعة والدقة في الحساب، والسهولة في الاستخدام. ولا شك بأن موقعنا هذا يعد من أفضل المواقع التي تقدم هذه الخدمة لأي عدد كان؛ وما عليك إلا إدخال العدد في الخانة المناسبة ثم الضغط على “احسب”، لينتج الجذر التربيعي الصحيح والدقيق للعدد المدخل. يمكنك الاستفادة من هذا الموقع في أي وقت كان طالما أن جهازك موصول بشبكة انترنت، كما يمكنك فتح هذا الموقع على الحاسوب أو الموبايل على اختلاف أنظمة تشغيلها.

أمثلة على حساب الجذر التربيعي

تتعدد الأمثلة على حساب الجذر التربيعي، وتختلف طرق الحل حسب طبيعة العدد؛ حيث قد يكون عدد صحيح موجب مربع كامل، أو عدد سالب أو كسر أو عدد صحيح ولكن ليس مربع كامل. وإليك بعض الأمثلة على ذلك:

مثال عن جذر المربع الكامل: √400 = 20
مثال عن جذر المربع غير الكامل (بطريقة التحليل إلى عوامل أولية): √50 = √2 * 5 * 5 = 5√2 =
مثال عن جذر المربع غير الكامل (بطريقة القانون): √50 = √49 + (50 – 49) / 2 √49 = 7.0714285
مثال عن حساب الجذر التربيعي لمربع غير كامل (بطريقة التخمين): √82 ≈ 9 لأن √81 = 9، وعند حساب √82 على الآلة الحاسبة نجد أنه يساوي 9.0553851381.
مثال عن حساب الجذر التربيعي لمربع غير كامل (بطريقة المعدل): √55 محصور بين √49 و√64 أي محصور بين 7 و8، لحساب الجذر التربيعي للـ50 قسم العدد 50 على 7، والناتج هو: 7.1428571429، أما المعدل للعددين السابقين فهو:

(7 + 7.1428571429) / 2 = 7.071425714

قسم بعدها العدد 50 على الناتج السابق، فالناتج هو: 7.0707099278

ويكون الجذر التربيعي للـ 50 ناتج معدل العددين:

(7.071425714 + 7.0707099278) / 2 = 7.0710678209

وهو قريب من √50 على الآلة الحاسبة، والذي يساوي 7.0710678119.

وبذلك نكون قد تعرفنا على أهم المعلومات المتعلقة بكيفية حساب الجذر التربيعي خطوة بخطوة على اختلاف الطرق المتاحة، بالإضافة إلى تعريفه وأمثلة على كيفية حسابه.

إليك أيضاً المزيد من أدوات موقع احسبلي